分母の有理化（基本）
有理化とは
パン太先生
今回は有理化について勉強します。
うさこ
有理化ってなんですか？
パン太先生
有理化は分母に根号を含む式の分母から根号をなくすことをいいます。次のようになります。
\(\frac {1}{\sqrt {2}}\)\(=\)\(\frac {\sqrt {2}}{2}\)
パン太先生
一見違う式のように見えますが、実は同じです。有理化をして分母の根号をなくす計算をしました。
うさこ
その計算は簡単にできるんですか？
パン太先生
はい、できますよ。それでは、有理化のやり方を学びましょう。
有理化のやり方
パン太先生
有理化をするときは次の決まりを使います。
① \(\sqrt {\frac {a}{b}}\)\(=\)\(\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\)
② \(\sqrt {a}\sqrt {a}=a\)
③ \(\frac {A}{B}\)\(=\)\(\frac {AC}{BC}\)
パン太先生
言い換えると
①根号内の分数は分けられる
②中が同じ根号同士を掛けると根号がとれる
③分母分子に同じ数を掛けても値は変わらない
これらを使います。それでは例題です。
①根号内の分数は分けられる
②中が同じ根号同士を掛けると根号がとれる
③分母分子に同じ数を掛けても値は変わらない
これらを使います。それでは例題です。
例） \(\frac {1}{\sqrt {2}}\)
うさこ
さっきの問題ですね。
パン太先生
分母に根号がありますので、それを無くしてきれいにしましょう。
うさこ
まず何をしたらいいですか？
パン太先生
決まりの②と③を使いましょう。分母の根号をはずすために \(\sqrt {2}\) を分母と分子の両方に掛けます。
\(\frac {1}{\sqrt {2}}\)
\(=\)\(\frac {1\times \sqrt {2}}{\sqrt {2}\sqrt {2}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {2}}{2}\)
\(=\)\(\frac {1\times \sqrt {2}}{\sqrt {2}\sqrt {2}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {2}}{2}\)
パン太先生
これで完了です。
うさこ
意外に簡単でした。
パン太先生
次のような例では、決まり①を使って根号を分母と分子に分けてから有理化しましょう。
例2） \(\sqrt {\frac {2}{3}}\)\(=\)\(\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {2}\sqrt {3}}{\sqrt {3}\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {6}}{3}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {2}\sqrt {3}}{\sqrt {3}\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {6}}{3}\)
パン太先生
次の例題では分母の根号の中を簡単にしてから有理化をしましょう。次の決まりを使いましょう。
\(\sqrt {k^2a}=k\sqrt {a}\)
例3） \(\frac {2}{\sqrt {12}}\)
\(=\)\(\frac {2}{\sqrt {{2}^{2}\cdot 3}}\)
\(=\)\(\frac {2}{2\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {1}{\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {2}{\sqrt {{2}^{2}\cdot 3}}\)
\(=\)\(\frac {2}{2\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {1}{\sqrt {3}}\)
パン太先生
ここまでできたら、さっきと同じように有理化しましょう。
\(\frac {1}{\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {3}}{3}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}\sqrt {3}}\)
\(=\)\(\frac {\sqrt {3}}{3}\)
パン太先生
分母が A+B の形の有理化もあります。それについては こちら のページで解説しています。