展開の工夫と順序
順序を工夫して置き換え
✍複数の多項式の積を求める（展開する）とき、前から順に計算しても答えは出ますが、公式が使えるように掛ける順番（組み合わせ）を工夫しましょう。次の例を見てみましょう。
\((x+2)(x+4)(x-1)(x-3)\)
前から順に計算するとどうなるでしょう。
(1次式)(1次式)(1次式)(1次式)
=(2次式)(1次式)(1次式)
=(3次式)(1次式)
=(4次式)
かなり大変になることが予想されます。
💡計算の順番（組み合わせ）を工夫することで、置き換えを使って簡単に計算ができるようになります。置き換えが分からない人は こちら を参考にしてください。それでは先ほどの例で説明します。
\((x+2)(x+4)(x-1)(x-3)\)
掛ける順番（組み合わせ）を工夫します。
👉共通部分をつくる
\((x+2)(x-1)×(x+4)(x-3)\)
分かりやすく並び替えました。
\((x^2+x-2)(x^2+x-12)\)
ここで \(x^2+x\) の共通部分ができました。ここまでできれば置き換えを使って計算できます。
💡\(x^2+x\) を \(A\) と置きます
\((x^2+x-2)(x^2+x-12)\)
\(=(A-2)(A-12)\)
\(=A^2-14A+24\)
\(=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24\)
\(=x^4+2x^3+x^2-14x^2-14x+24\)
\(=x^4+2x^3-13x^2-14x+24\)
✍複雑な展開の問題では工夫することで簡単になるものが大半です。多くの問題を練習して慣れておくようにしましょう。次は練習問題です。
工夫して展開 練習問題
✍いくつか練習問題を出します。解答はページの下の方に掲載しますので解いてみましょう。
⑴\((x+1)(x+4)(x-1)(x-4)\)
⑵\((x+3y)(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)(x^2-3xy+9y^2)\)
⑶\((x+2y)(x+3y)(x^2+5xy-5y^2)\)
⑷\((x+3)^2(x-3)^2(x^2+9)^2\)
～解答～
⑴\((x+1)(x-1)(x+4)(x-4)\)
\(=(x^2-1)(x^2-16)\)
\(=x^4-17x^2+16\)
別解①
\((x+1)(x+4)×(x-1)(x-4)\)
\(=(x^2+5x+4)(x^2-5x+4)\)
\(=\{{(x}^{2}+4)+5x\}\{({x}^{2}+4)-5x\}\)
\(=(x^2+4)^2-(5x)^2\)
\(=x^4+8x^2+16-25x^2\)
\(=x^4-17x^2+16\)
別解②
\((x+1)(x-4)×(x-1)(x+4)\)
\(=(x^2-3x-4)(x^2+3x-4)\)
\(=\{{(x}^{2}-4)-3x\}\{({x}^{2}-4)+3x\}\)
\(=(x^2-4)^2-(3x)^2\)
\(=x^4-8x^2+16-9x^2\)
\(=x^4-17x^2+16\)
⑵\((x+3y)(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)(x^2-3xy+9y^2)\)
\(=\{({x})^{3}+({3y)}^{3}\}\{({x)}^{3}-({3y})^{3}\}\)
\(=(x^3+27y^3)(x^3-27y^3)\)
\(=(x^3)^2-(27y^3)^2\)
\(=x^6-729y^6\)
👉\((A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3\)
\((A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3\)
⑶\((x+2y)(x+3y)(x^2+5xy-5y^2)\)
\(=(x^2+5xy+6y^2)(x^2+5xy-5y^2)\)
\(=\{({x}^{2}+5xy)+6{y}^{2}\}\{({x}^{2}+5xy-{5y}^{2}\}\)
\(=(x^2+5xy)^2+y^2(x^2+5xy)-30y^4\)
\(=x^4+10x^3y+25x^2y^2+x^2y^2+5xy^3-30y^4\)
\(=x^4+10x^3y+26x^2y^2+5xy^3-30y^4\)
⑷\((x+3)^2(x-3)^2(x^2+9)^2\)
\(=\{(x+3)(x-3)\}^{2}({x}^{2}+9)^{2}\)
\(=(x^2-9)^2(x^2+9)^2\)
\(=\{({x}^{2}-9)({x}^{2}+9)\}^{2}\)
\(=(x^4-81)^2\)
\(=x^8-162x^4+6561\)
👉\(A^2B^2=(AB)^2\)