平方根と絶対値の関係
平方根と絶対値の関係
パン太先生
平方根と絶対値にはそれぞれ決まりがあります。
○平方根
\(a≧0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=a\)
\(a<0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=-a\)
\(a≧0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=a\)
\(a<0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=-a\)
○絶対値
\(a≧0\) のとき、 \(|a|=a\)
\(a<0\) のとき、 \(|a|=-a\)
パン太先生
この２つがよく似ていることに気が付きますか？
うさこ
条件が同じとき \(\sqrt {a^2}\) と \(|a|\) が同じになりますね。
パン太先生
そこに着目すると次の式が得られます。
○平方根と絶対値の関係
\(\sqrt {a^2}=|a|\)
\(\sqrt {a^2}\) の計算方法
パン太先生
\(\sqrt {a^2}\) を計算する問題が出たときは、\(|a|\) になおしてから計算します。そのとき与えられた条件によって絶対値の中が正か負かになるかを考えます。
・絶対値の中が正→そのままはずす
・絶対値の中が負→ − をつけてはずす
・絶対値の中が負→ − をつけてはずす
パン太先生
それでは次の例を見てみましょう。
例） \(\sqrt {(a+2)^2}+\sqrt {(a-3)^2}\)
ただし、\(-2<a<3\)
ただし、\(-2<a<3\)
うさこ
まずは絶対値になおせばいいんですね。
\(\sqrt {(a+2)^2}+\sqrt {(a-3)^2}=|a+2|+|a-3|\)
パン太先生
条件 \(-2<a<3\) のとき、絶対値の中が正と負のどちらになるかを考えましょう。
うさこ
\(|a+2|\) の中は \(a=-2\) のときに \(0\) になります。\(a\) は \(-2\) より大きいので \(|a+2|\) の中は正になります。同じように考えると \(|a-3|\) の中は負になります。
パン太先生
とても良い考え方です。\(-2<a<3\) の条件から試しに \(0\) や \(1\) を代入してみても、正か負かの判別がつきますよ。好きなやり方で構いませんので試してみてください。
\(|a+2|+|a-3|\)
ここで、\(-2<a<3\) のとき
\(a+2>0\) , \(a-3<0\) なので
(与式)\(=(a+2)+\{-(a-3)\}\)
\(=a+2-a+3\)
\(=5\)
ここで、\(-2<a<3\) のとき
\(a+2>0\) , \(a-3<0\) なので
(与式)\(=(a+2)+\{-(a-3)\}\)
\(=a+2-a+3\)
\(=5\)
パン太先生
\(\sqrt {a^2}\) の形になっていない場合は、\(\sqrt {a^2}\) の形になおしてから計算しましょう。