平方根とは
平方根
パン太先生
今回は平方根について説明します。簡単に言うと、２乗して \(a\) になる数を \(a\) の平方根といって、\(\sqrt {a}\) と \(-\sqrt {a}\) の２つがあります。
２乗して \(a\) になる数を \(a\) の平方根という
\(\sqrt {a}\) と \(-\sqrt {a}\) の正と負の２つがある
\(\sqrt {a}\) と \(-\sqrt {a}\) の正と負の２つがある
うさこ
\(0\) に平方根はあるんですか？
パン太先生
あります。\(\sqrt {0}\) の1つだけですので注意してください。では、平方根の簡単な例を見てみましょう。
例） \(3\) の平方根は \(\sqrt {3}\) , \(-\sqrt {3}\)
\(5\) の平方根は \(\sqrt {5}\) , \(-\sqrt {5}\)
\(5\) の平方根は \(\sqrt {5}\) , \(-\sqrt {5}\)
うさこ
\(0\) の平方根以外は必ず２つあるんですね！
パン太先生
そうですね、毎回２つ書くのが大変なときは \(\pm \sqrt {3}\) のようにまとめて書くこともできます
パン太先生
それでは、平方根の計算法則について勉強しましょう。
平方根の計算法則
パン太先生
さっそく次の図を見てみましょう。
\(a≧0\) のとき、 \((\sqrt {a})^{2}=a\)
パン太先生
さっき２乗して \(a\) になる数を \(a\) の平方根という説明をしましたね。上の式はそのことを意味しています。例を見てみましょう。
例） \((\sqrt {2})^2=2\)
\((\sqrt {7})^2=7\)
\((\sqrt {7})^2=7\)
うさこ
平方根は２乗することで √（根号）がとれるんですね！
パン太先生
しっかり理解出来ていますね。次の計算法則にいきましょう。
\(a>0\) , \(b>0\) , \(k>0\) のとき
\(\sqrt {a}\sqrt {b}=\sqrt {ab}\) , \(\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}} =\sqrt {\frac {a}{b}}\) , \(\sqrt {k^2a}=k\sqrt {a}\)
パン太先生
最初の２つは、根号同士の掛け算と割り算は１つの根号にまとめられるということです。例を見てみてみましょう。
例） \(\sqrt {2}\sqrt {3}=\sqrt {2\cdot 3}=\sqrt {6}\)
\(\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}=\sqrt {\frac {2}{3}}\)
\(\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}=\sqrt {\frac {2}{3}}\)
うさこ
平方根って意外に得意かもしれません。
パン太先生
いいですね。その勢いで頑張りましょう。３つ目は根号の中で２乗になっているものは根号の外に出せるということです。例を見ましょう。
例） \(\sqrt {12}=\sqrt {2^2\cdot 3}=2\sqrt {3}\)
うさこ
\(12\) は \(2^2\cdot 3\) に分けられて、\(2^2\) が２乗になっているので \(2\) を根号の外に出したんですね？
パン太先生
その通りです。あと１つ計算法則があります。次の図を見てください。
\(a≧0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=a\)
\(a<0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=-a\)
\(a<0\) のとき、 \(\sqrt {a^2}=-a\)
うさこ
これって絶対値に似てませんか？
パン太先生
するどいですね。考え方は絶対値と変わりません。絶対値を外すとき必ず符号が＋（プラス）になるようにしたように、根号をはずす場合にも必ず符号が＋（プラス）になります。
うさこ
たしかに数を２乗してー（マイナス）になったらおかしいですよね。
パン太先生
根号と絶対値には次のような関係があります。絶対値について詳しく知りたい人は こちら のページを参考にしてください。
\(\sqrt {a^2}=|a|\)
パン太先生
それでは例を見てみましょう。
例1） \(\sqrt {(a+1)^2}\) ただし \(a>-1\)
パン太先生
上の公式を使って絶対値の表現にしてみましょう。
\(\sqrt {(a+1)^2}=|a+1|\)
パン太先生
この場合絶対値の中が＋（プラス）になるかー（マイナス）になるかを考えます。
うさこ
\(a>-1\) という条件があるので、必ず \(0\) よりは大きくなります。
パン太先生
そうですね。絶対値の中がプラス（＋）のときはそのまま外せるんでしたね。
絶対値の説明は こちら
\(\sqrt {(a+1)^2}\)
\(=|a+1|\)
\(=a+1\)
\(=|a+1|\)
\(=a+1\)
パン太先生
この場合はどうでしょうか。
例2） \(\sqrt {(a+1)^2}\) ただし \(a<-1\)
うさこ
まず絶対値の表現にするんですね。
\(\sqrt {(a+1)^2}=|a+1|\)
パン太先生
絶対値の中の符号はどうなりますか？
うさこ
\(a<-1\) という条件があるので、必ず \(0\) よりは小さくなります。
パン太先生
絶対値の中がー（マイナス）の場合は、中身全体にー（マイナス）を掛けて外すんでしたね。
\(\sqrt {(a+1)^2}\)
\(=|a+1|\)
\(=-(a+1)\)
\(=-a-1\)
\(=|a+1|\)
\(=-(a+1)\)
\(=-a-1\)
パン太先生
以上が平方根の基本事項になります。絶対値との関係までしっかりと理解しておきましょう。