複２次式の因数分解
複2次式とは
うさこ
複2次式ってなんですか？
パン太先生
複2次式は、大体は4次までの式をさします。一般的には次のような式を複2次式といいます。
\(ax^4+bx^2+c\) \((a\neq 0)\)
パン太先生
複2次式の因数分解には解き方があります。置き換えにもにている方法で \(x^2=X\) として考えます。すると次の式に変形できます。
\(ax^4+bx^2+c\)
\(=aX^2+bX+c\)
\(=aX^2+bX+c\)
うさこ
因数分解の公式を使うことができそうですね。
パン太先生
そうですね。因数分解をした後は \(X\) を \(x^2\) に戻すのを忘れないようにしましょう。
複2次式の因数分解
パン太先生
それではさっそく練習問題を通して理解を深めましょう。
例） \(x^4-13x^2+36\)
パン太先生
\(x^2=X\) とおきます。
\(x^4-13x^2+36\)
\(=X^2-13X+36\)
うさこ
これは公式を使って因数分解できます。
\(X^2-13X+36\)
\(=(X-4)(X-9)\)
パン太先生
\(X\) を \(x^2\) に戻して最後まで因数分解しましょう。
\((X-4)(X-9)\)
\(=(x^2-4)(x^2-9)\)
\(=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)\)
うさこ
できました！
パン太先生
次は少しひねった問題に挑戦しましょう。
例2） \(x^4-6x^2+1\)
うさこ
\(x^2=X\) におきます。
\(x^4-6x^2+1\)
\(=X^2-6X+1\)
うさこ
公式を使って因数分解できなさそうです…
パン太先生
この場合は少し工夫が必要になります。次の式を見てください。
\(X^2+bX+c\)
→ \((X+\triangle )^{2}-X\)
\(=(x^2+\triangle)^{2}-(\diamond x)^{2}\)
→ \((X+\triangle )^{2}-X\)
\(=(x^2+\triangle)^{2}-(\diamond x)^{2}\)
パン太先生
要するに ○²－△²
の形にできれば公式を使って因数分解ができます。先ほどの例で試してみましょう。
の形にできれば公式を使って因数分解ができます。先ほどの例で試してみましょう。
\(x^4-6x^2+1\)
\(=X^2-6X+1\)
パン太先生
\(X\) の係数が \(-2\) であれば2乗の形にできるのが分かりますか？そのためにはこの式に \(4X\) を足さなければなりません。そうすると式自体が変わってしまうので足した分の \(4X\) を引きます。
\(X^2-6X+1\)
\(=(X^2-6X+4X+1)-4X\)
\(=(X^2-2X+1)-4X\)
\(=(X^2-6X+4X+1)-4X\)
\(=(X^2-2X+1)-4X\)
パン太先生
続けて因数分解してみましょう。
\((X^2-2X+1)-4X\)
\(=(X-1)^2-4X\)
\(=(X-1)^2-4X\)
パン太先生
ここで \(X\) を \(x^2\) に戻します。
\((X-1)^2-4X\)
\(=(x^2-1)^2-4x^2\)
\(=(x^2-1)^2-(2x)^2\)
\(=(x^2-1)^2-4x^2\)
\(=(x^2-1)^2-(2x)^2\)
パン太先生
このように ○²－△² の形にできれば公式を使って因数分解できます。
公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\((x^2-1)^2-(2x)^2\)
\(=\{{(x}^{2}-1)+2x\}\{({x}^{2}-1)-2x\}\)
\(=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)\)
\(=\{{(x}^{2}-1)+2x\}\{({x}^{2}-1)-2x\}\)
\(=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)\)
パン太先生
複2次式の問題では次のような手順で因数分解するといいですよ。
\(x^2\) などを \(X\) などとおく
↓公式を利用
( X＋○)( X＋□) に変形
↓うまくいかなければ
△²－◇² の形をつくる
↓公式を利用
( X＋○)( X＋□) に変形
↓うまくいかなければ
△²－◇² の形をつくる
パン太先生
頑張って練習しましょう！