因数分解 ３乗の公式
３乗の公式
パン太先生
今回は３乗の形の因数分解について学びましょう。さっそく公式を紹介します。
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
パン太先生
この２つが今回勉強する公式です。
うさこ
これって展開の公式を逆にしただけですよね？
パン太先生
その通りです。展開公式のページで勉強しましたね。それでは例題を出しますね。
例）\(x^3+8\)
パン太先生
公式に当てはめて因数分解してみましょう。
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(x^3+8\)
\(=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)\)
うさこ
意外と簡単にできました！
パン太先生
油断して符号間違いをしないように気を付けましょう。次の図を見てみましょう。
うさこ
\(ab\) につく符号に気を付けないといけないんですね！
パン太先生
そうです、しっかりと公式を観察しておきましょう。
うさこ
分かりました！
パン太先生
少し応用した問題も挑戦してみましょう。次の問題を見てください。
問題1 \(32x^3-4y^3\)
うさこ
先生！3乗になってません！
パン太先生
そうでしょうか、共通因数があるのが分かりますか？共通因数がある場合は最初にくくってみましょう。
\(32x^3-4y^3\)
\(=4(8x^3-y^3)\)
\(=4(8x^3-y^3)\)
うさこ
あ！これで公式が使えそうです！
パン太先生
それでは公式を使って因数分解してみてください。符号の間違いに気を付けてくださいね。
\(4(8x^3-y^3)\)
\(=4(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
\(=4(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
うさこ
できました！
パン太先生
よくできました。符号も合ってますね。次の問題です。
問題2 \(x^6-y^6\)
うさこ
6乗の公式なんて知りませんよ…
パン太先生
この問題は以前勉強した因数分解の公式も使って解きます。次の公式を使います。それでは因数分解していきましょう。
公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(x^6-y^6\)
\(=(x^3)^2-(y^3)^2\)
\(=(x^3+y^3)(x^3-y^3)\)
\(=(x^3)^2-(y^3)^2\)
\(=(x^3+y^3)(x^3-y^3)\)
うさこ
3乗の公式が使えるようになりました！
パン太先生
続きをやってみましょう。
\((x^3+y^3)(x^3-y^3)\)
\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
\(=(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\)
\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
\(=(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\)
パン太先生
因数の順番に決まりはありませんが、見やすい順番にできるといいですね。