乗法公式（展開公式）②
乗法公式（展開公式）後半
✍乗法公式前半では基本的な整式の展開を学びました。後半ではもう少し発展した公式を学びますが、これもとても重要な公式なのでしっかり理解しましょう。
\(=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
⑵ \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
⑶ \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
⑷ \((a+b+c)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=2\cdot 4x^2+(2\cdot 5+3\cdot 4)x+3\cdot 5\)
\(=8x^2+22x+15\)
\(=(3x)^3+3\cdot (3x)^2\cdot 1+3\cdot 3x\cdot 1^2+1^3\)
\(=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\)
\(=x^3+8\)
\(=x^3-1\)
\(+2\cdot a\cdot (-2b)+2\cdot (-2b)\cdot 3c+2\cdot 3c\cdot a\)
乗法公式（展開公式）後半の証明
✍前半と同様に展開することで証明します。
⑴ \((ax+b)(cx+d)\)
\(=a\cdot c\cdot x^2+a\cdot d\cdot x+b\cdot c\cdot x+b\cdot d\)
\(=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
⑵ \((a+b)^3\)
\(=(a+b)(a+b)^2\)
\(=(a+b)(a^2+2ab+b^2)\)
\(=(a^3+2a^2b+ab^2)+(a^2b+2ab^2+b^3)\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
👉上の式の \(b\) に \(-b\) を代入する
⑶ \((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(=(a^3-a^2b+ab^2)+(a^2b-ab^2+b^3)\)
\(=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
👉上の式の \(b\) に \(-b\) を代入する
⑷ \((a+b+c)^2\)
\(=(A+c)^2\)
\(=A^2+2cA+c^2\)
\(=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\)
\(=a^2+2ab+b^2+2ca+2bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
💡証明の⑷の計算は置き換えを使っています。置き換えを詳しく知りたい人はこちらを参考にしてください。