次数の低い文字に着目

パン太先生

文字が多くなってくるとどう手を付けたらよいか戸惑ってしまうことがあります。そのときは一番次数の低い文字に着目して整理するとよいでしょう。次の例を見てみましょう。

例1）  \(x^2y+x^2z+xy^2-y^2z\)

パン太先生

このままだと公式が使えそうにありませんね。それぞれの文字の次数について調べてみると、

\(x\) について 2次
\(y\) について 2次
\(z\) について 1次

なので、一番次数の低い \(z\) について整理します。

        \(x^2y+x^2z+xy^2-y^2z\)
        \(=(x^2-y^2)z+(x^2y+xy^2)\)

パン太先生

整理するとくくれるようになったり、公式が使えるようになったりします。

うさこ

今整理した式もいろいろ使えそうですね。

        \((x^2-y^2)z+(x^2y+xy^2)\)
        \(=(x+y)(x-y)z+xy(x+y)\)
        \(=(x+y)\{(x-y)z+xy\}\)
        \(=(x+y)(xy-yz+zx)\) 

パン太先生

２行目で共通因数が見つかったのでくくっています。
今回は一番次数の低い文字について整理する感覚をつかんでもらうのが狙いです。何個か例を見て練習しましょう。

例2）  \(x^2+9z^2+3yz-6zx-xy\)

パン太先生

どの文字について整理するのが良さそうでしょうか？

うさこ

一番次数の低い文字だから…

\(x\) は２次
\(y\) は１次
\(z\) は２次

なので \(y\) について整理するのが良さそうです！

パン太先生

その調子で因数分解してみてください。

        \(x^2+9z^2+3yz-6zx-xy\)
        \(=-(x-3z)y+(x^2-6zx+9z^2)\)
        \(=-(x-3z)y+(x-3z)^2\)
        \(=(x-3z)\{-y+(x-3z)\}\)
        \(=(x-3z)(x-y-3z)\)

パン太先生

皆さんしっかりついてこれていますか？３行目で共通因数が見つかったのでくくっています。もう１問やってみましょう。

例3）  \(x^3+x^2y+5xy+y^2+2y-8\)

うさこ

\(y^2+2y-8\) が因数分解できるから、そこから積と和を考えるんですね！

        \(x^3+x^2y+5xy+y^2+2y-8\)
        \(=x^3+x^2y+5xy+(y-2)(y+4)\)

うさこ

この後がどうもうまくいきません…

パン太先生

少しひっかけ問題にしてみました。さっき勉強した一番次数の低い文字について整理してみてください。

うさこ

一番次数が低いのは \(y\) です。

        \(x^3+x^2y+5xy+y^2+2y-8\)
        \(=y^2+(x^2+5x+2)y+(x^3-8)\)

パン太先生

3乗の公式が使えそうですね。

        \(y^2+(x^2+5x+2)y+(x^3-8)\)
        \(=y^2+(x^2+5x+2)y+(x-2)(x^2+4x+4)\)

パン太先生

積と和がしっかりあっているので同じように因数分解しましょう。

        \(y^2+(x^2+5x+2)y+(x-2)(x^2+4x+4)\)
        \(=\{y+({x}^{2}+4x+4)\}\{y+(x-2)\}\)
        \(=(x^2+4x+y+4)(x+y-2)\)

パン太先生

何回も練習して慣れておきましょう。