置き換えを使った因数分解
置き換えとは
パン太先生
今回は置き換えを使った因数分解について勉強します。
うさこ
展開の勉強をしたときにも置き換えをした覚えがあります。
パン太先生
そうですね、置き換えとは、展開を勉強したときに共通部分があれば違う文字に置き換えることと説明しましたね。因数分解の場合も同じです。
✍置き換えとは
→共通部分を違う文字に置き換えること
→共通部分を違う文字に置き換えること
パン太先生
置き換えを使った展開は こちら で説明しています。
置き換えの方法
パン太先生
式の中に共通な部分があれば置き換えを使って因数分解することができます。以下の手順で置き換えを使って因数分解ができます。
①共通な部分を探し、違う文字 \(A\) などに置き換える
②計算を進め、\(A\) を戻す
③最後まで因数分解する
②計算を進め、\(A\) を戻す
③最後まで因数分解する
パン太先生
言葉だけではわかりにくいので例を出して説明します。
例1） \((x^2+2x)^2+2(x^2+2x)-15\)
パン太先生
この式の中で共通な部分はどこかわかりますか？
うさこ
\(x^2+2x\) が共通だと思います。
パン太先生
はい、では
\(x^2+2x=A\)
と置き換えてみましょう。
\(x^2+2x=A\)
と置き換えてみましょう。
\((x^2+2x)^2+2(x^2+2x)-15\)
\(=A^2+2A-15\)
パン太先生
計算しやすくなりましたね。このまま因数分解します。
\(A^2+2A-15\)
\(=(A-3)(A+5)\)
パン太先生
因数分解できたら \(A\) をもとにもどします。
\((A-3)(A+5)\)
\(=\{({x}^{2}+2x)-3\}\{({x}^{2}+2x)+5\}\)
\(=(x^2+2x-3)(x^2+2x+5)\)
パン太先生
\(A\) をもとに戻せたら最後まで因数分解します。
\((x^2+2x-3)(x^2+2x+5)\)
\(=(x-1)(x+3)(x^2+2x+5)\)
パン太先生
これが置き換えの流れになります。
うさこ
置き換えることで式が見やすくなってミスが減りそうですね！
パン太先生
もう１問練習しましょう。
例2） \((x^2+2x-2)(x^2+2x-3)-2\)
うさこ
まず共通部分を置き換えて整理します。
\((x^2+2x-2)(x^2+2x-3)-2\)
\(=(A-2)(A-3)-2\)
\(=(A^2-5A+6)-2\)
\(=A^2-5A+4\)
うさこ
因数分解できますね！そのあとは置き換えた部分をもどすだけですね！
\(A^2-5A+4\)
\(=(A-1)(A-4)\)
\(=(x^2+2x-1)(x^2+2x-4)\)
パン太先生
これ以上は因数分解できないので完了です。